Question

13．已知下列四个命题：①函数$f（x）=1+\frac{2}{{2}^{x}-1}，g（x）=（x-1）\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$都是偶函数；②若函数f（x）满足f（2+x）+f（2-x）=2，且f（-1）=0，则f（5）=2；③函数f（x+2）的定义域是（-2，4），则f（x²-3）的定义域是$（\sqrt{3}，3）$；④设f（x）是定义域为[-1，1]的奇函数，且f（x）在[0，1]上单调递增，若g（x）=|f（x）|，则对任意x₁、x₂∈[-1，1]，有$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{g（{x}_{1}）-g（{x}_{2}）}＞0$，其中正确命题的序号是②．

Answer 1

分析 判定两个函数的奇偶性，可判断①；分析函数的对称性，可判断②；求出f（x²-3）的定义域，可判断③；分析g（x）=|f（x）|的单调性，可判断④．

解答 解：①函数$f（x）=1+\frac{2}{{2}^{x}-1}$定义域关于原点对称，且f（-x）=-f（x）恒成立，
故函数f（x）为奇函数；
函数$g（x）=（x-1）\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$定义域[-1，1）不关于原点对称，
故g（x）为非奇非偶函数，故①错误；
②若函数f（x）满足f（2+x）+f（2-x）=2，
则函数f（x）的图象关于（2，1）点对称，
又由f（-1）=0得：f（5）=2，故②正确；
③函数f（x+2）的定义域是（-2，4），则x+2∈（0，6），
由x²-3∈（0，6）得：x∈（-3，-$\sqrt{3}$）∪（$\sqrt{3}$.3），
故f（x²-3）的定义域是（-3，-$\sqrt{3}$）∪$（\sqrt{3}，3）$，故③错误；
④设f（x）是定义域为[-1，1]的奇函数，且f（x）在[0，1]上单调递增，
则f（x）在[-1，0]上单调递增，
若g（x）=|f（x）|，则g（x）在[-1，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增，
故对任意x₁、x₂∈[-1，1]，有$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{g（{x}_{1}）-g（{x}_{2}）}＞0$，错误，故④错误；
综上所述，正确的命题的序号为：②，
故答案为：②

点评 本题以命题的真假判断为载体，考查了函数的奇偶性，对称性，定义域和单调性，难度中档．