Question

8．已知定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，对定义域内的任意实数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），且f（2）=1，
（Ⅰ）求f（1），f（-1）的值；
（Ⅱ）试判断函数f（x）的奇偶性，并给出证明；
（Ⅲ）如果f（2-x）≥2，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令x=y=1，可得f（1）；再令x=y=-1，可得f（-1）：
（Ⅱ）f（x）为偶函数．令y=-1，代入结合f（-1）=0，即可判断；
（Ⅲ）令x=y=2，求得f（4）=2，即有f（2-x）≥f（4），由f（x）为偶函数，可得f（x）=f（|x|），即有f（|2-x|）≥f（4），由单调性可得|x-2|≥4，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：（Ⅰ）令x=y=1，即有f（1）=f（1）+f（1），即为f（1）=0，
令x=y=-1，即有f（1）=f（-1）+f（-1）=0，即为f（-1）=0：
（Ⅱ）f（x）为偶函数．
证明：令y=-1，即有f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x），
所以f（x）为偶函数；
（Ⅲ）令x=y=2，可得f（4）=2f（2）=2，
则f（2-x）≥2=f（4），
由f（x）为偶函数，可得f（x）=f（|x|），
即有f（|2-x|）≥f（4），
由f（x）在（0，+∞）上为增函数，可得
|x-2|≥4，解得x≥6或x≤-2，
故x的取值范围为x≥6或x≤-2．

点评 本题考查抽象函数的运用：求函数值和判断奇偶性、解不等式，考查赋值法的运用和函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题．