Question

3．已知曲线C₁的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=5cosφ}\\{y=\frac{5\sqrt{22}}{22}sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C₂的极坐标方程是psin（$θ-\frac{π}{6}$）=0，且曲线C₁与曲线C₂在第一象限的交点为A，长方形ABCD的顶点都在C₁上（其中A，B，C，D依逆时针次序排列）求点A，B，C，D的直角坐标．

Answer 1

分析 求出曲线C₁、C₂的普通坐标方程，联立方程组得A（$\sqrt{3}$，1），由此利用椭圆的对称性能求出点A，B，C，D的直角坐标．

解答 解：∵曲线C₁的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=5cosφ}\\{y=\frac{5\sqrt{22}}{22}sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），
∴曲线C₁的普通方程是$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{22{y}^{2}}{25}$=1，
∵曲线C₂的极坐标方程是ρsin（$θ-\frac{π}{6}$）=0，
即$ρsinθcos\frac{π}{6}-ρcosθsin\frac{π}{6}$=0，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}ρsinθ-\frac{1}{2}ρcosθ=0$，
∴曲线C₂的普通坐标方程$\frac{\sqrt{3}}{2}y-\frac{1}{2}x=0$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{15}+\frac{22{y}^{2}}{25}=1}\\{\frac{\sqrt{3}}{2}y-\frac{1}{2}x=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}}\\{y=-1}\end{array}\right.$，
∵曲线C₁与曲线C₂在第一象限的交点为A，∴A（$\sqrt{3}$，1），
∵长方形ABCD的顶点都在C₁上（其中A，B，C，D依逆时针次序排列），
∴A（$\sqrt{3}$，1），B（-$\sqrt{3}$，1），C（-$\sqrt{3}$，-1），D（$\sqrt{3}$，-1）．

点评 本题考查长方形的四个顶点的直角坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标、直角坐标互化公式的合理运用．