Question

12．已知数列{a_n}的首项a₁=1，且a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）．
（1）证明数列{a_n+1}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=$\frac{n}{{a}_{n}+1}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由已知得a_n+1+1=2（a_n+1），a₁+1=2，由此能证明数列{a_n+1}是以2为公比，以其昏昏为首项的等比数列，并能求出{a_n}的通项公式．
（2）由${b}_{n}=\frac{n}{{a}_{n}+1}=\frac{n}{{2}^{n}}$，利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和．

解答 证明：（1）∵数列{a_n}的首项a₁=1，且a_n+1=2a_n+1（n∈N^*），
∴a_n+1+1=2（a_n+1），a₁+1=2，
∴数列{a_n+1}是以2为公比，以2为首项的等比数列，
∴${a}_{n}+1={2}^{n}$，
∴${a}_{n}={2}^{n}-1$．
解：（2）∵${b}_{n}=\frac{n}{{a}_{n}+1}=\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴数列{b_n}的前n项和：
S_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}+…+\frac{n}{{2}^{n}}$，①
$\frac{1}{2}{S}_{n}=\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}+\frac{3}{{2}^{4}}+…+\frac{n}{{2}^{n+1}}$，②
①-②，得：$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$
=1-$\frac{1+2n}{{2}^{n}}$，
∴S_n=2-$\frac{2+4n}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式及前n项和的求法，是中档题，注意错位相减法的合理运用．