Question

4．设命题p：?x₀∈（0，+∞），e${\;}^{{x}_{0}}$+x₀=5．命题q：?x∈（0，+∞），$\frac{3}{x+1}$+x≥2$\sqrt{3}$-1．那么，下列命题为真命题的是（　　）

• A． ￢q
• B． （￢p）∨（￢q）
• C． p∧q
• D． p∧（￢q）

Answer 1

分析 利用函数零点存在定理以及基本不等式分别判断两个命题的真假，然后结合复合命题真假之间的关系是解决本题的关键．

解答 解：设f（x）=e^x+x-5，则f（x）=1-5=-4＜0，f（5）=e⁵+5-5=e⁵＞0，
则：?x₀∈（0，+∞），使f（x₀）=0，即e${\;}^{{x}_{0}}$+x₀=5成立，即命题p是真命题，
$\frac{3}{x+1}$+x=$\frac{3}{x+1}$+x+1-1≥2$\sqrt{\frac{3}{x+1}•（x+1）}$-1=2$\sqrt{3}$-1，
当且仅当$\frac{3}{x+1}$=x+1，即x+1=$\sqrt{3}$，x=$\sqrt{3}-1$时取等号，
故：?x∈（0，+∞），$\frac{3}{x+1}$+x≥2$\sqrt{3}$-1成立，即命题q为真命题．
则p∧q为真命题，其余为假命题，
故选：C

点评 本题主要考查复合命题真假之间的关系的判断，利用条件判断p，q的真假性是解决本题的关键．