Question

14．设复数z=x+（y-1）i（x，y∈R），若|z|≤1，则y≤x的概率为$\frac{1}{4}-\frac{1}{2π}$．

Answer 1

分析 由题意易得所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，分别求面积可得．

解答 解：∵复数z=x+（y-1）i（x，y∈R）且|z|≤1，
∴|z|=$\sqrt{{x}^{2}+（y-1）^{2}}$≤1，即x²+（y-1）² ≤1，
∴点（x，y）在（0，1）为圆心1为半径的圆及其内部，
而y≤x表示直线y=x左上方的部分，（图中阴影弓形）
∴所求概率为弓形的面积与圆的面积一般的之比，
∴所求概率P=$\frac{π•{1}^{2}-\frac{3}{4}π•{1}^{2}-\frac{1}{2}×1×1}{π•{1}^{2}}$=$\frac{1}{4}-\frac{1}{2π}$
故答案为：$\frac{1}{4}-\frac{1}{2π}$．

点评 本题考查几何概型，涉及复数以及圆的知识，属基础题．