Question

3．奇函数f（x）在（0，+∞）上递增，且f（-2）=0，则不等式 $\frac{f（x）-f（-x）}{x}$＜0的解集为（　　）

• A． （-∞，-2）∪（0，2）
• B． （-2，0）∪（0，2）
• C． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• D． （-2，0）∪（2，+∞）

Answer 1

分析 根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．

解答 解：∵函数f（x）是奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，又f（-2）=0，
∴f（x）在（-∞，0）上是增函数，且f（2）=-f（-2）=0，
∴当x＞2或-2＜x＜0时，f（x）＞0，当x＜-2或0＜x＜2时，f（x）＜0，
作出f（x）的草图，如图所示：
则不等式 $\frac{f（x）-f（-x）}{x}$＜0等价为$\frac{2f（x）}{x}$＜0：
即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＞0}\end{array}\right.$，
解得0＜x＜2或-2＜x＜0，
∴xf（x）＜0的解集为：（-2，0）∪（0，2），
故选：B

点评 本题主要考查不等式的解集，利用函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．