Question

18．给出下列四个命题，其中错误的命题有（　　）个．
（1）函数y=sin2x+cos2x在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上的单调递增区间是[0，$\frac{π}{8}$]；
（2）设随机变量X～N（1，σ²），若P（0＜X＜1）=0.4，则P（0＜X＜2）=0.8；
（3）设函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$），f（x）的图象向左平移$\frac{π}{12}$个单位，得到一个偶函数的图象；
（4）“直线x-ay=0，与直线x+ay=0互相垂直”的充分条件是“a=1”

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 （1）根据辅助角公式进行化简判断即可．
（2）利用正态分布的对称性进行求解．
（3）根据三角函数的平移以及三角函数的性质进行判断．
（4）根据直线垂直的等价条件以及充分条件和必要条件的定义进行判断．

解答 解：（1）函数y=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，
则kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，
即函数的单调递增区间为[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]，
当k=0时，单调递增区间为为[-$\frac{3π}{8}$，$\frac{π}{8}$]，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴0≤x≤$\frac{π}{8}$；此时函数的单调递增区间是[0，$\frac{π}{8}$]；故（1）正确，
（2）∵随机变量X～N（1，σ²），若P（0＜X＜1）=0.4，
∴P（0＜X＜2）=2P（0＜X＜1）=2×0.4=0.8；故（2）正确，
（3）f（x）的图象向左平移$\frac{π}{12}$个单位得到y=sin[2（x+$\frac{π}{12}$）+$\frac{π}{3}$]=sin（2x+$\frac{π}{2}$）=cos2x为偶函数，故（3）正确，
（4）当a=1时，两条直线方程分别为x-y=0和x+y=0，此时两直线垂直，即a=1是“直线x-ay=0，与直线x+ay=0互相垂直”的充分条件，故（4）正确，
则错误的命题为0个，
故选：A

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的单调性和奇偶性，正态分布的性质以及想、充分条件和必要条件的判断，涉及的内容较多综合性较强．