Question

8．某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）$（{A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}}）$在某一个周期的图象时，列表并填入的部分数据如表：

x	$\frac{2}{3}$π	x1	$\frac{8}{3}$π	x2	x3
ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3}{2}$π	2π
Asin（ωx+φ）	0	2	0	-2	0

（I）求x₁，x₂，x₃的值及函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）若对任意的x₁，x₂∈[0，π]，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜t恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （I）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
（Ⅱ）由题意可得f（x）∈[-$\sqrt{3}$，1]，且|f（x₁）-f（x₂）|的最大值小于t，由此求得t的范围．

解答 解：（I）x₁=$\frac{\frac{2π}{3}+\frac{8π}{3}}{2}$=$\frac{5π}{3}$，x₁-$\frac{2π}{3}$=π，∴x₂=$\frac{8π}{3}$+π=$\frac{11π}{3}$，x₃=$\frac{11π}{3}$+π=$\frac{14π}{3}$．
由表格可得A=2，$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{ω}$=$\frac{8π}{3}$-$\frac{2π}{3}$，求得ω=$\frac{1}{2}$，再根据五点法作图可得$\frac{1}{2}$•$\frac{2π}{3}$+φ=0，求得φ=-$\frac{π}{3}$，
故函数f（x）=2sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{3}$）．
（Ⅱ）若对任意的x₁，x₂∈[0，π]，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜t恒成立，
故当x∈[0，π]时，$\frac{1}{2}$x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，∴f（x）∈[-$\sqrt{3}$，1]，|f（x₁）-f（x₂）|的最大值小于t．
故 1-（-$\sqrt{3}$）＜t，即 t＞1+$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数的恒成立问题，属于基础题．