Question

3．下面的数组均由三个数组成，它们是：（1，2，3），（2，4，6），（3，8，11），（4，16，20），（5，32，37），…，（a_n，b_n，c_n）．
（1）请写出数列{a_n}，{b_n}，{c_n}的通项公式，（无需证明）
（2）若数列{c_n}的前n项和为M_n，求M₁₀．

Answer 1

分析 （1）由已知条件分别写出a_n，b_n，c_n的前5项，总结规律，能求出数列{a_n}，{b_n}，{c_n}的通项公式．
（2）由${c}_{n}=n+{2}^{n}$，利用分组求和法能求出数列{c_n}的前10项和为M₁₀．

解答 解：（1）∵（1，2，3），（2，4，6），（3，8，11），（4，16，20），（5，32，37），…，（a_n，b_n，c_n），
∴a₁=1，a₂=2，a₃=3，a₄=4，a₅=5，…
${{b}_{1}}^{\;}$=2，${b}_{2}=4={2}^{2}$，${b}_{3}=8={2}^{3}$，${b}_{4}=16={2}^{4}$，${b}_{5}=32={2}^{5}$，…
c₁=3=1+2，${c}_{2}=6=2+{2}^{2}$，${c}_{3}=11=3+{2}^{3}$，${c}_{4}=20=4+{2}^{4}$，${c}_{5}=37=5+{2}^{5}$，…
由此猜想：${a_n}=n，{b_n}={2^n}，{c_n}=n+{2^n}$…..（5分）
（2）∵${c}_{n}=n+{2}^{n}$，数列{c_n}的前n项和为M_n，
∴M₁₀=（1+2+3+…+10）+（2+2²+2³+…+2¹⁰）
=$\frac{10（1+10）}{2}+\frac{2（1-{2}^{10}）}{1-2}$=2101．…..（10分）

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前10项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．