Question

18．定义实数集R的子集M的特征函数为${f_M}（x）=\left\{\begin{array}{l}1，x∈M\\ 0，x∈{C_R}M\end{array}\right.$．若A，B⊆R，对任意x∈R，有如下判断：
①若A⊆B，则f_A（x）≤f_B（x）；      ②f_A∩B（x）=f_A（x）•f_B（x）；
③${f_{{C_R}A}}（x）=1-{f_A}（x）$；               ④f_A∪B（x）=f_A（x）+f_B（x）．
其中正确的是①②③．（填上所有满足条件的序号）

Answer 1

分析 根据题中特征函数的定义，利用集合的交集、并集和补集运算法则，对各项中的运算加以验证，可得①②③都可以证明它们的正确性，而④可通过反例说明它不正确．由此得到本题答案．

解答 解：由题意，可得
对于A，因为A⊆B，可得x∈A则x∈B，
∵f_A（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈A}\\{0，x∈{C}_{R}A}\end{array}\right.$，f_B（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈B}\\{0，x∈{C}_{R}B}\end{array}\right.$，
而C_RA中可能有B的元素，但C_RB中不可能有A的元素
∴f_A（x）≤f_B（x），
即对于任意x∈R，都有f_A（x）≤f_B（x）故①正确
对于C，f_A∩B（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈A∩B}\\{0，x∈{C}_{R}（A∩B）}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈A}\\{0，x∈{C}_{R}A}\end{array}\right.$•$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈B}\\{0，x∈{C}_{R}B}\end{array}\right.$=f_A（x）•f_B（x），
故②正确
对于③，${f}_{{C}_{R}A}$=$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈{C}_{R}A}\\{0，x∈A}\end{array}\right.$，结合f_A（x）的表达式，可得${f}_{{C}_{R}A}$=1-f_A（x），故③正确
对于④，f_A∪B（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈A∪B}\\{0，x∈{C}_{R}（A∪B）}\end{array}\right.$
当某个元素x在A中但不在B中，由于它在A∪B中，故f_A∪B（x）=1，
而f_A（x）=1且f_B（x）=0，可得f_A∪B（x）≠f_A（x）•f_B（x）
由此可得④不正确．
故答案为：①②③．

点评 本题给出特征函数的定义，判断几个命题的真假性，着重考查了集合的运算性质和函数对应法则的理解等知识，属于中档题．