Question

8．已知函数f（x）是定义在R上的增函数．
（1）a∈R，试比较f（a²）与f（a-1）的大小，并说明理由；
（2）若对任意的x∈R，不等式f（ax²）＜f（ax+1）恒成立．求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）f（a²）＞f（a-1）；运用作差法，结合函数的单调性，即可得到大小；
（2）由题意可得ax²-ax-1＜0恒成立，讨论a=0，a＜0，且判别式小于0，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：（1）f（a²）＞f（a-1）；
理由：因为${a^2}-（a-1）={（a-\frac{1}{2}）^2}+\frac{3}{4}＞0$，
所以a²＞a-1，
又函数f（x）是定义在R上的增函数，
可得f（a²）＞f（a-1）；
（2）由函数f（x）是定义在R上的增函数，
对任意的x∈R，不等式f（ax²）＜f（ax+1）恒成立，
即为ax²-ax-1＜0恒成立，
当a=0时，-1＜0恒成立，符合；
a≠0时，由$\left\{\begin{array}{l}a＜0\\△={a^2}+4a＜0\end{array}\right.⇒-4＜a＜0$恒成立．
综上，实数a的取值范围为（-4，0]．

点评 本题考查函数的单调性的运用：比较大小和解不等式，考查不等式恒成立问题的解法，属于中档题．