Question

3．设0＜α＜π，若$cos（α+\frac{π}{6}）=-\frac{3}{5}$，求$sin（2α+\frac{π}{12}）$的值．

Answer 1

分析 由条件判断$\frac{π}{2}＜α+\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，求得sin（α+$\frac{π}{6}$）的值，可得 sin（2α+$\frac{π}{3}$）和cos（2α+$\frac{π}{3}$）的值，从而求得$sin（2α+\frac{π}{12}）$=sin[（2α+$\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{4}$]的值．

解答 解：∵0＜α＜π，∴$\frac{π}{6}＜α+\frac{π}{6}＜\frac{7π}{6}$，∵$cos（α+\frac{π}{6}）=-\frac{3}{5}$，∴$\frac{π}{2}＜α+\frac{π}{6}＜\frac{7π}{6}$．
又∵$-\frac{3}{5}＞-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且$cos\frac{5π}{6}=cos\frac{7π}{6}=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，∴$\frac{π}{2}＜α+\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，∴$sin（α+\frac{π}{6}）=\frac{4}{5}$．
∴sin（2α+$\frac{π}{3}$）=2sin（α+$\frac{π}{6}$）cos（α+$\frac{π}{6}$）=2•$\frac{4}{5}$•（-$\frac{3}{5}$）=-$\frac{24}{25}$，
∴cos（2α+$\frac{π}{3}$）=1-2sin²（α+$\frac{π}{6}$）=1-2•$\frac{16}{25}$=-$\frac{7}{25}$，
故$sin（2α+\frac{π}{12}）$=$sin[（2α+\frac{π}{3}）-\frac{π}{4}]=sin（2α+\frac{π}{3}）cos\frac{π}{4}-cos（2α+\frac{π}{3}）sin\frac{π}{4}=-\frac{24}{25}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}+\frac{7}{25}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=-\frac{{17\sqrt{2}}}{50}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式，判断$\frac{π}{2}＜α+\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，是解题的关键，属于中档题．