Question

11．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的离心率为$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，若抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F到双曲线的渐近线的距离为1，
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点F的直线l交抛物线C于A、B两点（点A在x轴下方），若$\overline{AF}=\frac{1}{3}\overline{FB}$，求直线l的斜率．

Answer 1

分析 （1）利用双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的离心率为$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，可得双曲线的渐近线的方程为y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，根据抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F到双曲线的渐近线的距离为1，即可求抛物线C的方程；
（2）利用$\overline{AF}=\frac{1}{3}\overline{FB}$，求出A，B的坐标，利用斜率公式，可得结论．

解答 解：（1）∵双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的离心率为$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴双曲线的渐近线的方程为y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∵抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F到双曲线的渐近线的距离为1，
∴$\frac{|\frac{\sqrt{3}}{3}•\frac{p}{2}|}{\sqrt{\frac{1}{3}+1}}$=1，∴p=4，
∴抛物线C的方程为y²=8x；
（2）抛物线的焦点F（2，0）
设A（x，y），B（m，n），（y＜0），则
∵$\overline{AF}=\frac{1}{3}\overline{FB}$，∴（2-x，-y）=$\frac{1}{3}$（m-2，n）
∴m=8-3x，n=-3y
∵A，B都在抛物线上
∴y²=8x，9y²=8（8-3x）
∴x=$\frac{3}{4}$，
∴y=-$\sqrt{6}$，
∴AB的斜率就是$\frac{\sqrt{6}}{2-\frac{3}{4}}$=$\frac{4\sqrt{6}}{5}$．

点评 本题考查抛物线的方程，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．