Question

1．在△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=6，D点在斜边BC上，$\overrightarrow{CD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DB}$，则$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$的值为（　　）

• A． 48
• B． 24
• C． 12
• D． 6

Answer 1

分析 运用向量的加减运算，可得$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$，运用向量垂直的条件：数量积为0，结合向量的平方即为模的平方，计算可得$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$的值．

解答 解：$\overrightarrow{CD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DB}$，即为$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AD}$），
可得$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$，
∠BAC=90°，可得$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=0，
则$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$•（$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$²+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$
=$\frac{1}{3}$×36+$\frac{2}{3}$×0=12．
故选C．

点评 本题考查向量的数量积的定义和性质的运用，考查向量垂直的条件，以及向量共线的表示，属于中档题．