Question

13．已知等差数列{a_n}满足a₃=2，前3项和S₃=$\frac{9}{2}$．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设等比数列{b_n}满足b₁=a₁，b₄=a₁₅，求{b_n}前n项和T_n；
（3）若c_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求数列{c_n}的前n项的和K_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列通项公式和前n项和公式列出方程组，求出${a}_{1}=1，d=\frac{1}{2}$，由此能求出{a_n}的通项公式．
（2）求出b₁=1，b₄=8，由此利用等比数列通项公式求出公比，从而能求出{b_n}前n项和T_n．
（3）由c_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{4}{（n+1）（n+2）}$=4（$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$），利用裂项求和法能求出数列{c_n}的前n项的和．

解答 解：（1）∵等差数列{a_n}满足a₃=2，前3项和S₃=$\frac{9}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=2}\\{3{a}_{1}+3d=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，解得${a}_{1}=1，d=\frac{1}{2}$，
∴${a}_{n}=1+（n-1）×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}n+\frac{1}{2}$．
（2）∵等比数列{b_n}满足b₁=a₁=1，b₄=a₁₅=$\frac{15}{2}+\frac{1}{2}$=8，
∴q³=8，∴q=2，
∴{b_n}前n项和T_n=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2ⁿ-1．
（3）∵c_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{4}{（n+1）（n+2）}$=4（$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$），
∴数列{c_n}的前n项的和：
K_n=4（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$）
=4（$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$）
=2-$\frac{4}{n+2}$．

点评 本题考查数列的通项公式、前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列、裂项求和法的合理运用．