Question

4．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点F₂（3，0），过F₂的直线交椭圆C于A，B两点，且M（1，-1）是线段AB的中点．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）已知F₁是椭圆的左焦点，求△F₁AB的面积．

Answer 1

分析 （1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入椭圆的方程，两式相减，根据线段AB的中点坐标为（1，-1），求出斜率，进而可得a，b的关系，根据右焦点为F（3，0），求出a，b的值，即可得出椭圆C的离心率；
（2）直线AB的方程为y=$\frac{1}{2}$（x-3），椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{18}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1，联立直线与椭圆，化为关于x的一元二次方程，即可得出△F₁AB的面积．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=2，y₁+y₂=-2
A，B代入椭圆方程，两式相减，整理可得，k_AB=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
∵直线的斜率为$\frac{0+1}{3-1}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∵右焦点为F（3，0），
∴a²-b²=9，
∴a²=18，b²=9，
∴椭圆C的离心率e=$\frac{3}{3\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）直线AB的方程为y=$\frac{1}{2}$（x-3），椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{18}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1，
联立直线与椭圆，化为x²-2x-3=0，∴x₁=3，x₂=-1．
∴|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}•|3+1|$=2$\sqrt{5}$．
点F₁到直线AB的距离d=$\frac{|-3-0-3|}{\sqrt{5}}$=$\frac{6}{\sqrt{5}}$．
∴△F₁AB的面积S=$\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×\frac{6}{\sqrt{5}}$=6．

点评 本题考查椭圆的方程，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．