Question

14．设{a_n}是等差数列，{b_n}是各项都为正数的等比数列，且a₁=b₁=1，a₁+b₂=3，a₂+b₃=7
（Ⅰ）求{a_n}，{b_n}的通项公式；        
（Ⅱ）求数列$\left\{{\frac{a_n}{b_n}}\right\}$的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式；
（Ⅱ）求得$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}$，再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，
则依题意有q＞0且$\left\{\begin{array}{l}{1+q=3}\\{1+d+{q}^{2}=7}\end{array}\right.$，
解得d=2，q=2．
所以a_n=1+（n-1）d=2n-1，b_n=q^n-1=2^n-1．
（Ⅱ）$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}$．
前n项和S_n=1+$\frac{3}{2}$+$\frac{5}{{2}^{2}}$+…+$\frac{2n-3}{{2}^{n-2}}$+$\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}$，①
2S_n=2+3+$\frac{5}{2}$+…+$\frac{2n-3}{{2}^{n-3}}$+$\frac{2n-1}{{2}^{n-2}}$，②
②-①得S_n=2+2+$\frac{2}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+…+$\frac{2}{{2}^{n-2}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}$
=2+2（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-2}}$）-$\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}$
=2+2•$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n-1}}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}$=6-$\frac{2n+3}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项和求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，考查运算能力，属于中档题．