Question

5．函数$f（x）=（{{m^2}-m-1}）{x^{{m^2}+m-3}}$是定义域为R的幂函数，且当x∈（0，+∞）时，f（x）是增函数，
（1）求m的值，并写出f（x）得解析式．
（2）若f（a）≤8，则a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据幂函数的定义，令m²-m-1=1，求出m的值，再判断m是否满足幂函数在x∈（0，+∞）上为增函数即可．
（2）利用函数的解析式，写出不等式求解即可．

解答 解：∵幂函数y=（m²-m-1）x^m2+m-3，
∴m²-m-1=1，
解得m=2，或m=-1；
又x∈（0，+∞）时y为增函数，
∴当m=2时，m²+m-3=3，幂函数为y=x³，满足题意；
当m=-1时，m²+m-3=-3，幂函数为y=x^-3，不满足题意；
综上，m=2，幂函数y=x³．
（2）f（a）≤8，
可得a³≤8
解得：a≤2．

点评 本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，解题的关键是求出符合题意的m值．