Question

17．设函数$f（x）=2cos（\frac{π}{3}-\frac{x}{2}）$，
（1）求f（x）的周期；
（2）当x∈[-π，π]时，求f（x）单调递增区间；
（3）当x∈[0，2π]时，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用诱导公式，余弦函数的周期性，求得f（x）的周期．
（2）由条件利用余弦函数的单调性求得函数f（x）的增区间．
（3）由条件利用余弦函数的定义域和值域，求得f（x）的最大值和最小值．

解答 解：（1）∵函数$f（x）=2cos（\frac{π}{3}-\frac{x}{2}）$=2cos（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$），故它的周期为$\frac{2π}{\frac{1}{2}}$=4π．
（2）令 2kπ-π≤$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$≤2kπ，求得4kπ-$\frac{4π}{3}$≤x≤4kπ+$\frac{2π}{3}$，故函数的增区间为[4kπ-$\frac{4π}{3}$，4kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．
根据 x∈[-π，π]，可得函数的增区间为[-π，$\frac{2π}{3}$]．
（3）当x∈[0，2π]时，$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，∴cos（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
故当$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$时，函数f（x）取得最小值为-1，当$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$=0时，函数f（x）取得最大值为2．

点评 本题主要考查诱导公式，余弦函数的周期性和单调性，余弦函数的定义域和值域，属于基础题．