Question

7．在三棱锥C-ABD中，△ABD与△CBD是全等的等腰直角三角形，O为斜边BD的中点，AB=4，二面角A-BD-C的大小为$\frac{π}{6}$并给出下面结论：
（1）AC⊥BD；  （2）AD⊥CO；  （3）△AOC为正三角形； （4）cos∠ADC=$\frac{3}{4}$；
（5）四面体ABCD的外接球表面积为32π，
其中真命题个数是（1）（5）．

Answer 1

分析 根据等腰直角三角形的性质得OA⊥BD，OC⊥BD，且OC=OA=OB=OD=$\frac{1}{2}$BD，结合线面垂直的判定定理，球的表面积公式得出（1）、（5）正确；
由余弦定理求出cos∠ADC的值判断（4）错误；
根据二面角与线面垂直的判断与性质判断（2）（3）错误．

解答 解：如图所示，
三棱锥C-ABD中，△ABD与△CBD是全等的等腰直角三角形，O为斜边BD的中点，AB=4，二面角A-BD-C的大小为$\frac{π}{6}$；
AO⊥BD，CO⊥BD，且AO∩CO=O，∴BD⊥平面AOC，
又AC?平面AOC，∴AC⊥BD，（1）正确；
若AD⊥CO，又BD⊥CO，且AD∩CD=D，∴CO⊥平面ABD，
∴二面角A-BD-C的平面角为$\frac{π}{2}$，这与已知为$\frac{π}{6}$矛盾，
∴假设不成立，（2）错误；
∵∠AOC是二面角A-BD-C的平面角，且∠AOC=$\frac{π}{6}$，
∴△AOC不是正三角形，（3）错误；
由AB=4得，AD=CD=4，且OC=OA=2$\sqrt{2}$，
∴AC=$\sqrt{{（2\sqrt{2}）}^{2}{+（2\sqrt{2}）}^{2}-2×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}cos\frac{π}{6}}$=$\sqrt{16-8\sqrt{3}}$
∴cos∠ADC=$\frac{{4}^{2}{+4}^{2}-（16-8\sqrt{3}）}{2×4×4}$=$\frac{2+\sqrt{3}}{4}$，∴（4）不正确；
由OA=OB=OC=OD得，四面体ABCD的外接球的球心是O，且半径r=OA=2$\sqrt{2}$，
∴四面体ABCD的外接球面积为S=4π•${（2\sqrt{2}）}^{2}$=32π，∴（5）正确．
综上，正确的命题是（1）（5）．
故答案为：（1）（5）．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质、线面垂直的判定定理、二面角的定义、余弦定理和四面体的外接球的求半径与表面积的应用问题，是综合性题目．