Question

9．已知函数f（x）=sinx+cosx，则下列结论正确的是（　　）

• A． 函数f（x）的图象关于直线$x=-\frac{π}{4}$对称
• B． 函数f（x）的最大值为2
• C． 函数f（x）在区间$（-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}）$上是增函数
• D． 函数f（x）的最小正周期为π

Answer 1

分析 由条件利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性、单调性、最值、以及它的图象的对称性，得出结论．

解答 解：函数f（x）=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），当x=-$\frac{π}{4}$时，求得f（x）=0，
可得函数f（x）的图象不关于直线$x=-\frac{π}{4}$对称，故排除A．
由函数的解析式可得函数f（x）的最大值为$\sqrt{2}$，故排除B．
∵x∈区间$（-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}）$，故x+$\frac{π}{4}$∈（0，$\frac{π}{2}$），故函数f（x）在区间$（-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}）$上是增函数，
故C正确．
根据f（x）=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），可得它的最小正周期为2π，故排除D，
故选：C．

点评 本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的周期性、单调性、最值、以及它的图象的对称性，属于基础题．