Question

1．已知在△ABC中，角A、B、C所对应的边为a，b，c．
（I）若sin（A+$\frac{π}{3}$）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$cosA，求A的值；
（Ⅱ）若cosA=$\frac{1}{3}$，b=3c，求sinC的值．

Answer 1

分析 （I）利用两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值，同角三角函数基本关系式化简已知可得：tanA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，结合范围A∈（0，π），即可解得A的值．
（Ⅱ）利用同角三角函数基本关系式可求sinA，利用余弦定理可求a=$2\sqrt{2}$c，利用正弦定理即可求得sinC的值．

解答 解：（I）∵sin（A+$\frac{π}{3}$）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$cosA，
∴$\frac{1}{2}$sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$cosA，解得：tanA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴由A∈（0，π），可得：A=$\frac{π}{6}$．
（Ⅱ）∵cosA=$\frac{1}{3}$，b=3c，
∴a²=b²+c²-2bccosA=8c²，
∴a=$2\sqrt{2}$c，而sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
由正弦定理得：$\frac{2\sqrt{2}c}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，
∴sinC=$\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查了两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值，同角三角函数基本关系式，正弦定理，余弦定理的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．