Question

13．已知函数f（x）=2sinxcosx+1-2cos²（x-$\frac{π}{12}$），（x∈R），则下列结论正确的是（　　）

• A． 周期T=2π
• B． f（x）向左平移$\frac{π}{6}$后是奇函数
• C． 一个对称中心是（$\frac{π}{3}$，0）
• D． 一条对称轴是x=$\frac{π}{6}$

Answer 1

分析 先利用二倍角公式和三函数恒等式求出f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$），由此利用正弦函数性质能求出结果．

解答 解：∵f（x）=2sinxcosx+1-2cos²（x-$\frac{π}{12}$），（x∈R），
∴f（x）=sin2x-cos（2x-$\frac{π}{6}$）
=sin2x-（cos2xcos$\frac{π}{6}$+sin2xsin$\frac{π}{6}$）
=$\frac{1}{2}sin2x$-$\frac{\sqrt{3}}{2}cos2x$
=sin（2x-$\frac{π}{3}$），
∴f（x）的周期T=$\frac{2π}{2}$=π，故A错误；
f（x）向左平移$\frac{π}{6}$后，得到y=$sin[2（x+\frac{π}{6}）-\frac{π}{3}]=sin2x$，是奇函数，故B正确；
f（x）的对称中心（$\frac{kπ}{2}+\frac{5π}{6}$，0），k∈Z，故C错误；
f（x）的对称轴方程为x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z，故D错误．
故选：B．

点评 本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意二倍角公式、三函数恒等式和三角函数性质的合理运用．