Question

5．若函数f（x）=e^xsinx，则此函数图象在点（4，f（4））处的切线的倾斜角为（　　）

• A． 钝角
• B． 0
• C． $\frac{π}{2}$
• D． 锐角

Answer 1

分析 求出f（x）的导数，求得切线的斜率，由两角和的正弦公式，化简斜率k，再由三角函数值的符号，结合直线的斜率公式，即可判断倾斜角为钝角．

解答 解：函数f（x）=e^xsinx的导数为f′（x）=e^x（sinx+cosx），
则在点（4，f（4））处的切线的斜率为k=e⁴（sin4+cos4）
=e⁴•$\sqrt{2}$sin（4+$\frac{π}{4}$），
由e⁴＞0，4+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{3π}{2}$，2π），
即有sin（4+$\frac{π}{4}$）＜0，可得k=e⁴•$\sqrt{2}$sin（4+$\frac{π}{4}$）＜0，
即有tanα＜0，则倾斜角为钝角．
故选A．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，同时考查三角函数的化简和求值，考查直线的斜率公式的运用，属于中档题．