Question

14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知$cosA=\frac{2}{3}，sinB=\sqrt{5}cosC$．
（1）求tanC的值；
（2）若$a=\sqrt{2}$，求边c的长及△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由已知及同角三角函数基本关系式可求sinA，利用两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知即可求解tanC的值．
（2）由（1）可求sinC，又由正弦定理可求c=$\frac{asinC}{sinA}$的值，对角A运用余弦定理：$cosA=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}=\frac{2}{3}$，联立方程即可解得b，利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：（1）∵$cosA=\frac{2}{3}＞0$，
∴$sinA=\sqrt{1-{{cos}^2}A}=\frac{{\sqrt{5}}}{3}$，…（3分）
又$\sqrt{5}cosC=sinB=sin（{A+C}）=sinAcosC+sinCcosA=\frac{{\sqrt{5}}}{3}cosC+\frac{2}{3}sinC$．
整理得：$tanC=\sqrt{5}$．…（6分）
（2）由$tanC=\sqrt{5}$知：$sinC=\sqrt{\frac{5}{6}}$．
又由正弦定理知：$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，故c=$\frac{asinC}{sinA}$=$\frac{\sqrt{2}×\sqrt{\frac{5}{6}}}{\frac{\sqrt{5}}{3}}$=$\sqrt{3}$．①…（8分）
对角A运用余弦定理：$cosA=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}=\frac{2}{3}$．②
解①②得：$b=\sqrt{3}$或$b=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$（舍去）．…（10分）
∴△ABC的面积为：$S=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$．…（12分）

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．