Question

2．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为π，且图象过点（$\frac{π}{6}$，$\frac{1}{2}$），函数g（x）=f（x）f（x-$\frac{π}{4}$）的单调递增区间[$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{8}$，$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$]，k∈Z．

Answer 1

分析 由条件利用正弦函数的周期性求得ω的值可得函数的解析式，再利用二倍角公式、诱导公式化简，利用正弦函数的单调性求得函数的增区间．

解答 解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2．
再根据图象过点（$\frac{π}{6}$，$\frac{1}{2}$），可得sin（2•$\frac{π}{6}$+φ）=$\frac{1}{2}$，∴2•$\frac{π}{6}$+φ=$\frac{5π}{6}$，∴φ=$\frac{π}{2}$，f（x）=sin（2x+$\frac{π}{2}$）=cos2x．
函数g（x）=f（x）f（x-$\frac{π}{4}$）=cos2xcos2（x-$\frac{π}{4}$）=sin2xcos2x=$\frac{1}{2}$sin4x．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤4x≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{8}$≤x≤$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$，故函数的增区间为[$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{8}$，$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$]，k∈Z．
故答案为：[$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{8}$，$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查正弦函数的周期性、单调性，二倍角公式、诱导公式的应用，属于基础题．