Question

15．下列正确命题有③④．
①“$sinθ=\frac{1}{2}$”是“θ=30°”的充分不必要条件
②如果命题“￢（p或q）”为假命题，则 p，q中至多有一个为真命题
③设a＞0，b＞1，若a+b=2，则$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b-1}$的最小值为3+2$\sqrt{2}$
④函数f（x）=3ax+1-2a在（-1，1）上存在x₀，使f（x₀）=0，则a的取值范围是$a＜-1或a＞\frac{1}{5}$．

Answer 1

分析 根据充要条件的定义，可判断①；根据复合命题真假判断的真值表，可判断②；根据基本不等式，可判断③；根据一次函数的图象和性质，即零点存在定理，可判断④．

解答 解：①“$sinθ=\frac{1}{2}$”时，“θ=30°”不一定成立，“θ=30°”时“$sinθ=\frac{1}{2}$”一定成立，故“$sinθ=\frac{1}{2}$”是“θ=30°”的必要不充分条件，故①错误；
②如果命题“?（p或q）”为假命题，则命题“p或q”为真命题，则p，q中可能全为真命题，故②错误；
a＞0，b＞1，若a+b=2，则b-1＞0，a+（b-1）=1，则$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b-1}$=（$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b-1}$）[a+（b-1）]=3+$\frac{2（b-1）}{a}$+$\frac{a}{b-1}$≥3+2$\sqrt{\frac{2（b-1）}{a}•\frac{a}{b-1}}$=3+2$\sqrt{2}$，即$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b-1}$的最小值为3+2$\sqrt{2}$，故③正确；
若函数f（x）=3ax+1-2a在（-1，1）上存在x₀，使f（x₀）=0，则f（-1）•f（1）＜0，即（-3a+1-2a）（a+1）＜0，解得$a＜-1或a＞\frac{1}{5}$，故④正确，
故正确的命题有：③④，
故答案为：③④

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了充要条件，复合命题，基本不等式，零点存在定理等知识点，难度中档．