Question

14．已知等差数列{a_n}满足：a₅=11，a₂+a₆=18．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=a_n•$\frac{1}{2^n}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由等差数列通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由b_n=a_n•$\frac{1}{2^n}$=（2+1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和S_n．

解答 解：（1）设等差数列的首项为a₁，公差为d，
∵a₅=11，a₂+a₆=18，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+4d=11}\\{2{a}_{1}+6d=18}\end{array}\right.$，
解得a₁=3，d=2，
∴a_n=2n+1．
（2）b_n=a_n•$\frac{1}{2^n}$=（2+1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴${S}_{n}=3•\frac{1}{2}+5•\frac{1}{{2}^{2}}+7•\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（2n+1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，①
∴$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$3•\frac{1}{{2}^{2}}+5•\frac{1}{{2}^{3}}+7•\frac{1}{{2}^{4}}$+…+$（2n+1）•\frac{1}{{2}^{n+1}}$，②
①-②，得：$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$3•\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-（2n+1）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{3}{2}$+$\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-（2n+1）$•\frac{1}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{5}{2}-\frac{2n+5}{{2}^{n+1}}$，
∴S_n=5-$\frac{2n+5}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查数列的通项公式、前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．