Question

6．设函数f（x）=2sinxcosx-cos（2x-$\frac{π}{6}$）．
（1）求函数f（x）的单调减区间；
（2）当x∈[0，$\frac{2π}{3}$]时，求函数f（x）的最大值及取得最大值时的x的值．

Answer 1

分析 （1）运用两角差的余弦公式，倍角公式，辅助角公式化简函数式，再求函数的单调区间；
（2）直接运用正弦函数的图象和性质求函数的最值及相应x的取值．

解答 解：（1）f（x）=sin2x-[$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$sin2x]
=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x=sin（2x-$\frac{π}{3}$），
即f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$），
令2x-$\frac{π}{3}$∈[2kπ+$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{3π}{2}$]，
解得x∈[kπ+$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{11π}{2}$]，
即f（x）的单调减区间为：[kπ+$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{11π}{2}$]（k∈Z）；
（2）∵f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$），
当x∈[0，$\frac{2π}{3}$]时，2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，π]，
所以，当2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，解得，x=$\frac{5π}{12}$，
因此，函数f（x）取得最大值1，此时x的值为$\frac{5π}{12}$．

点评 本题主要考查了三角函数的恒等变换，涉及两角差的余弦展开式，倍角公式，辅助角公式，以及三角函数的单调区间和最值的求法，属于中档题．