Question

15．设a_n=4+$\frac{5}{（-4）^{n}-1}$，b_n=a_2n-a_2n-1，T=b₁+b₂+…+b_n，求证：T＜$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 求得b_n=$\frac{5}{1{6}^{n}-1}$+$\frac{20}{1{6}^{n}+4}$=$\frac{25•1{6}^{n}}{（1{6}^{n}-1）（1{6}^{n}+4）}$＜$\frac{25•1{6}^{n}}{1{6}^{2n}}$=$\frac{25}{1{6}^{n}}$，将T=b₁+b₂+…+b_n，从第二项开始放缩，运用等比数列的求和公式和不等式的性质，即可得证．

解答 证明：a_n=4+$\frac{5}{（-4）^{n}-1}$，b_n=a_2n-a_2n-1=4+$\frac{5}{1{6}^{n}-1}$-（4+$\frac{5}{-{4}^{-1}•1{6}^{n}-1}$）
=$\frac{5}{1{6}^{n}-1}$+$\frac{20}{1{6}^{n}+4}$=$\frac{25•1{6}^{n}}{（1{6}^{n}-1）（1{6}^{n}+4）}$
=$\frac{25•1{6}^{n}}{1{6}^{2n}+3•1{6}^{n}-4}$＜$\frac{25•1{6}^{n}}{1{6}^{2n}}$=$\frac{25}{1{6}^{n}}$，
即有T=b₁+b₂+…+b_n＜b₁+25（$\frac{1}{1{6}^{2}}$+$\frac{1}{1{6}^{3}}$+…+$\frac{1}{1{6}^{n}}$）
=$\frac{4}{3}$+25•$\frac{\frac{1}{1{6}^{2}}（1-\frac{1}{1{6}^{n}}）}{1-\frac{1}{16}}$=$\frac{4}{3}$+$\frac{5}{48}$（1-$\frac{1}{1{6}^{n}}$）
=$\frac{69}{48}$-$\frac{5}{48}$•$\frac{1}{1{6}^{n}}$＜$\frac{69}{48}$＜$\frac{3}{2}$．
则T＜$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查数列不等式的证明，注意运用放缩法和不等式的性质，考查运算和推理能力，属于中档题．