Question

10．已知数列{b_n}为等差数列，数列{a_n}为递增等比数列，${a}_{5}^{2}$=a₁₀，且2（a_n+a_n+2）=5a_n+1，n∈N^*，且b₁=a₃，b₃=a₄．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）令c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用递增等比数列的通项公式及性质，求出首项和公差，由此能求出数列{a_n}的通项公式；从而求出b₁=a₃=8，b₃=a₄=16，利用等差数列性质求出公差，由此能求出{b_n}的通项公式．
（2）由c_n=a_n•b_n=（4n+4）•2ⁿ=（n+1）•2ⁿ⁺²，利用错位相减法能求出数列{c_n}的前n项和．

解答 解：（1）∵数列{a_n}为递增等比数列，${a}_{5}^{2}$=a₁₀，且2（a_n+a_n+2）=5a_n+1，n∈N^*，
∴（a₁q⁴）²=a₁q⁹，2（1+q²）=5q，
∵等比数列{a_n}为递增数列，
∴q=2，a₁=2
∴a_n=2ⁿ．
∵数列{b_n}为等差数列，b₁=a₃=8，b₃=a₄=16，
∴b₃=8+2d=16，解得d=4，
∴b_n=8+（n-1）×4=4n+4．
（2）∵c_n=a_n•b_n=（4n+4）•2ⁿ=（n+1）•2ⁿ⁺²，
∴数列{c_n}的前n项和：
S_n=2•2³+3•2⁴+4•2⁵+…+（n+1）•2ⁿ⁺²，①
$2{S}_{n}=2•{2}^{4}+3•{2}^{5}+4•{2}^{6}+…+（n+1）•{2}^{n+3}$，②
①-②，得：-S_n=16+2⁴+2⁵+2⁶+…+2ⁿ⁺²-（n+1）•2ⁿ⁺³
=16+$\frac{16（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（n+1）•2ⁿ⁺³
=-n•2ⁿ⁺³．
∴S_n=n•2ⁿ⁺³．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．