Question

1．如图，四棱锥P-ABCD中，BC=CD，AB=AD=$\sqrt{2}$，AB⊥AD，O为BD的中点，PO⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面PBC，设OC=a，PO=b．
（Ⅰ）若a=$\frac{1}{3}$，求b的值；
（Ⅱ）当$\frac{a}{b}$取得最大值时，求PC与平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出b的值．
（Ⅱ）分别求出平面PAB的法向量和平面PBC的法向量，由平面PAB⊥平面PBC，得$\frac{a}{b}$取得最大值时，b=1，a=$\frac{1}{2}$，由此能求出PC与平面PAB所成角的正弦值．

解答 解：（Ⅰ）以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
由已知得A（0，-1，0），B（1，0，0），P（0，0，b），C（0，$\frac{1}{3}$，0），
$\overrightarrow{AB}$=（1，1，0），$\overrightarrow{AP}$=（0，1，b），
设平面PAB的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=y+bz=0}\end{array}\right.$，
取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，$\frac{1}{b}$），
$\overrightarrow{BP}=（-1，0，b）$，$\overrightarrow{BC}$=（-1，$\frac{1}{3}$，0），
设平面PBC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BP}=-{x}_{1}+b{z}_{1}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=-{x}_{1}+\frac{1}{3}{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，
取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，3，$\frac{1}{b}$），
∵平面PAB⊥平面PBC，∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=1-3+$\frac{1}{{b}^{2}}$=0，
解得b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，或b=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（舍）．
∴b的值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅱ）由已知得A（0，-1，0），B（1，0，0），P（0，0，b），C（0，a，0），
$\overrightarrow{AB}$=（1，1，0），$\overrightarrow{AP}$=（0，1，b），
设平面PAB的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=y+bz=0}\end{array}\right.$，
取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，$\frac{1}{b}$），
$\overrightarrow{BP}=（-1，0，b）$，$\overrightarrow{BC}$=（-1，a，0），
设平面PBC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BP}=-{x}_{1}+b{z}_{1}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=-{x}_{1}+a{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，
取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{b}$），
∵平面PAB⊥平面PBC，∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=1-$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=0，
整理，得ab-b+$\frac{a}{b}$=0，即b=ab+$\frac{a}{b}$，
∴$\frac{a}{b}=\frac{a}{ab+\frac{a}{b}}$=$\frac{1}{b+\frac{1}{b}}$$≤\frac{1}{2}$，
∴当$\frac{a}{b}$取得最大值$\frac{1}{2}$时，b=2a，
由$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=1-$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=1-$\frac{2}{b}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=0，解得b=1，a=$\frac{1}{2}$，
此时面PAB的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，-1，1），C（0，$\frac{1}{2}$，0），P（0，0，1），$\overrightarrow{PC}$=（0，$\frac{1}{2}$，-1），
∴设PC与平面PAB所成角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{PC}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{PC}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{-\frac{1}{2}-1}{\sqrt{3}•\sqrt{\frac{5}{4}}}$|=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
∴PC与平面PAB所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题考查空间几何中线段长的求法，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．