Question

13．如图，设抛物线y²=4x的焦点为F，过点（-2，0）的直线l交抛物线于A，B两点，线段AB的中垂线分别与AB，x轴交于P，Q两点．若P，Q，F，B四点共圆，则该圆的半径是$\frac{\sqrt{65}}{4}$．

Answer 1

分析 先求出B的坐标，可得AB的方程，进而求出P的坐标，可得PQ的方程，Q的坐标，即可得出结论．

解答 解：由题意，BF⊥x轴，∴B（1，2）
∴k_AB=$\frac{2-0}{1+2}$=$\frac{2}{3}$，
∴AB的方程为y=$\frac{2}{3}$（x+2），
代入y²=4x，可得x²-5x+4=0，∴x=1或4，
∴P（$\frac{5}{2}$，3），
∴PQ的方程为y-3=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{5}{2}$），
令y=0，可得Q（$\frac{9}{2}$，0），
∴|BQ|=$\sqrt{（\frac{9}{2}-1）^{2}+（0-2）^{2}}$=$\frac{\sqrt{65}}{2}$，
∴圆的半径是$\frac{\sqrt{65}}{4}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{65}}{4}$．

点评 本题考查P，Q，F，B四点共圆，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．