Question

18．已知数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{1}{2}$n（n+1），n∈N^*，b_n=3ⁿ+（-1）^n-1a_n，则数列{b_n}的前2n+1项和为（　　）

• A． $\frac{{3}^{2n+2}-1}{2}$+n
• B． $\frac{1}{2}$•3²ⁿ⁺²+n+$\frac{1}{2}$
• C． $\frac{{3}^{2n+2}-1}{2}$-n
• D． $\frac{1}{2}$•3²ⁿ⁺²-n+$\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 由n=1时，a₁=S₁，n＞1时，a_n=S_n-S_n-1，求得a_n=n，再由数列的求和方法：分组求和，结合等比数列的求和公式，计算即可得到所求值．

解答 解：前n项和S_n=$\frac{1}{2}$n（n+1），可得n=1时，a₁=S₁=1，
n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}$n（n+1）-$\frac{1}{2}$（n-1）n=n，
即有a_n=n，n∈N^*，b_n=3ⁿ+（-1）^n-1a_n=3ⁿ+（-1）^n-1•n，
则数列{b_n}的前2n+1项和为（3+9+…+3²ⁿ⁺¹）+[1-2+3-4+5-6+…+（2n+1）]
=$\frac{3（1-{3}^{2n+1}）}{1-3}$+（-n）+（2n+1）=$\frac{{3}^{2n+2}-1}{2}$+n．
故选A．

点评 本题考查数列的通项的求法，注意运用数列的通项和前n项和的关系，考查等差数列和等比数列的求和公式的运用，属于中档题．