Question

5．已知在平面直角坐标系中，角φ（0＜φ＜π），2x的终边分别与单位圆（以坐标原点O为圆心）交于A，B两点，函数f（x）=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$．
（1）若当x=$\frac{2π}{3}$时，函数f（x）取得最小值，求函数f（x）的解析式；
（2）若f（$\frac{π}{8}$）=$\frac{1}{2}$求sin2φ．

Answer 1

分析 （1）根据条件可以得出A，B点的坐标，从而得出向量$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$的坐标，进而得出f（x）=cos（φ-2x），根据x=$\frac{2π}{3}$时，f（x）取最小值，再根据φ的范围从而可得φ-$\frac{4π}{3}$=-π，这样便可得出f（x）的解析式；
（2）根据$f（\frac{π}{8}）=\frac{1}{2}$可得cos（φ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$，再根据0＜φ＜π便可求出φ，从而便可得出sin2φ的值．

解答 解：（1）根据条件，A（cosφ，sinφ），B（cos2x，sin2x）；
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=cosφcos2x+sinφsin2x$=cos（φ-2x）；
∴f（x）=cos（φ-2x）；
∵x=$\frac{2π}{3}$时，f（x）取得最小值，且0＜φ＜π；
∴φ-$\frac{4π}{3}$=-π；
∴φ=$\frac{π}{3}$；
∴f（x）=cos（$\frac{π}{3}$-2x）；
（2）$f（\frac{π}{8}）=cos$（φ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$；
∵0＜φ＜π；
∴$φ-\frac{π}{4}=\frac{π}{3}$；
∴$φ=\frac{7π}{12}$；
∴$sin2φ=sin\frac{7π}{6}=-\frac{1}{2}$．

点评 考查三角函数的定义，根据点的坐标求向量的坐标，两角差的余弦公式，以及已知三角函数值求角，余弦函数的最小值．