Question

10．在△ABC中，cosA=-$\frac{5}{13}$，sinB=$\frac{4}{5}$．
（1）求cosC的值；
（2）设BC=15．求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinA和cosB的值，再利用诱导公式、两角和的余弦公式求得cosC=-cos（A+B）的值．
（2）由条件利用正弦定理求得AC的值，可得△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$BC•AC•sinC 的值．

解答 解：（1）△ABC中，∵cosA=-$\frac{5}{13}$，sinB=$\frac{4}{5}$，∴sinA=$\sqrt{{1-cos}^{2}A}$=$\frac{12}{13}$，cosB=$\sqrt{{1-sin}^{2}B}$=$\frac{3}{5}$，
故cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=-（-$\frac{5}{13}$）•$\frac{3}{5}$+$\frac{12}{13}•\frac{4}{5}$=$\frac{63}{65}$．
（2）∵BC=15，由正弦定理可得 $\frac{BC}{sinA}$=$\frac{AC}{sinB}$，即$\frac{15}{\frac{12}{13}}$=$\frac{AC}{\frac{4}{5}}$，AC=13．
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$BC•AC•sinC=$\frac{1}{2}$•15•13•$\sqrt{1{-cos}^{2}c}$=$\frac{1}{2}$•15•13•$\frac{16}{65}$=24．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式、两角和的余弦公式，正弦定理的应用，属于基础题．