Question

19．已知函数f（x）=sin（$\frac{4k+1}{2}$π-$\frac{x}{2}$）-sin（-$\frac{x}{2}$），k∈Z，x∈R
（1）求f（x）在[0，π）上的单调增区间；
（2）若f（α）=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，α∈（0，$\frac{π}{2}$），求tan（2α+$\frac{π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数的诱导公式以及辅助角公式进行化简，结合三角函数的单调性进行求解．
（2）根据三角函数的关系式，以及两角和差的正切公式，同角的三角函数关系式进行化简求解．

解答 解：（1）f（x）=sin（$\frac{4k+1}{2}$π-$\frac{x}{2}$）-sin（-$\frac{x}{2}$）=sin（2kπ+$\frac{π}{2}$-$\frac{x}{2}$）+sin$\frac{x}{2}$
=sin（$\frac{π}{2}$-$\frac{x}{2}$）+sin$\frac{x}{2}$=cos$\frac{x}{2}$+sin$\frac{x}{2}$=$\sqrt{2}$sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$），
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，
则4kπ-$\frac{3π}{2}$≤x≤4kπ+$\frac{π}{2}$，
即函数的单调递增区间为[4kπ-$\frac{3π}{2}$，4kπ+$\frac{π}{2}$]，
当k=0时，单调递增区间为为[-$\frac{3π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，
∵x∈[0，π），
∴函数的单调递增区间为为[0，$\frac{π}{2}$]，
即f（x）在[0，π）上的单调增区间是[0，$\frac{π}{2}$]；
（2）若f（α）=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，α∈（0，$\frac{π}{2}$），
则$\sqrt{2}$sin（$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{4}$）=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，
即sin（$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{4}$）=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
则cos2（$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{4}$）=1-2sin²（$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{4}$）=1-2×（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）²=1-$\frac{8}{5}$=-$\frac{3}{5}$，
即cos（α+$\frac{π}{2}$）=-$\frac{3}{5}$，
即-sinα=-$\frac{3}{5}$，
则sinα=$\frac{3}{5}$，则cosα=$\frac{4}{5}$，则tanα=$\frac{3}{4}$，
则tan2α=$\frac{2tanα}{1-tan{\;}^{2}α}$=$\frac{2×\frac{3}{4}}{1-（\frac{3}{4}）^{2}}$=$\frac{24}{7}$，
则tan（2α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{tan2α+1}{1-tan2α}$=$\frac{1+\frac{24}{7}}{1-\frac{24}{7}}$=-$\frac{31}{17}$．

点评 本题主要考查三角函数单调区间的求解以及三角函数值的化简和求值，利用两角和差的正切公式，以及同角的基本关系式进行转化是解决本题的关键．