Question

4．已知函数f（x）=2sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$），求：
（1）函数f（x）最小正周期；
（2）函数f（x）的单调递增区间；
（3）函数f（x）取最大值x的集合及f（x）的最大值．

Answer 1

分析 由条件利用正弦函数的周期性和单调性，正弦函数的最值，得出结论．

解答 解：由于函数f（x）=2sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$），故它的最小正周期为$\frac{2π}{\frac{1}{2}}$=4π．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得4kπ-$\frac{5π}{3}$≤x≤4kπ+$\frac{π}{3}$，故函数的增区间为[4kπ-$\frac{5π}{3}$，4kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z．
根据函数f（x）=2sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$），可得函数的最大值为2，此时，$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z．即x的取值的集合为{x|x=4kπ+$\frac{π}{3}$}（k∈Z）．

点评 本题主要考查正弦函数的周期性和单调性，正弦函数的最值，属于基础题．