Question

14．已知tan2θ=-2$\sqrt{2}$，π＜2θ＜2π，化简$\frac{2co{s}^{2}θ-sinθ-1}{\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）}$=3+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 通过正切的倍角公式根据tan2θ求出tanθ的值；先用正弦两角和公式对原式进行化简，再tanθ代入即可得到答案．

解答 解：tan2θ=$\frac{2tanθ}{1-{tan}^{2}θ}$=-2$\sqrt{2}$，即$\sqrt{2}$tan²θ-tanθ-$\sqrt{2}$=0，
又∵π＜2θ＜2π，可得$\frac{π}{2}$＜θ＜π，∴tanθ=$-\frac{\sqrt{2}}{2}$，
$\frac{2co{s}^{2}\frac{θ}{2}-sinθ-1}{\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）}$=$\frac{cosθ-sinθ}{sinθ+cosθ}$=$\frac{1-tanθ}{1+tanθ}$=$\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}$=3+$\sqrt{2}$．
故答案为：3+2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查三角函数中的两角和公式运用，在求tanθ的过程中，要注意定义域，属中档题．