Question

6．已知$\overrightarrow{a}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，若△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则$\overrightarrow{b}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}$）或（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 设$\overrightarrow{b}$=（x，y），由△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，求出|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1，再利用|$\overrightarrow{AB}$|=|2$\overrightarrow{b}$|=2，得到$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$，由此列出方程组能求出$\overrightarrow{b}$．

解答 解：设$\overrightarrow{b}$=（x，y），
∵△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，
∴|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{（-\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=1，
∵|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$|=|2$\overrightarrow{b}$|=2，
∴|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2}$，∴$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\\{-\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{y=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow{b}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}$）或$\overrightarrow{b}=（-\frac{\sqrt{3}}{2}，-\frac{1}{2}$）．
故答案为：（$\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}$）或（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查向量的求法，是基础题，熟练掌握向量的运算法则和数量积运算是解题的关键．