Question

11．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过两点M（0，m）和N（$\sqrt{3}$m，$\frac{1}{2}$m），（m＞0），F₁，F₂分别为椭圆C的左、右焦点．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）直线MF₂交椭圆C另外一点为E，且四边形MF₁EN的面积为$\frac{10\sqrt{3}}{7}$，求椭圆的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意，b=m，$\frac{3{m}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{\frac{1}{4}{m}^{2}}{{m}^{2}}$=1，可得a=2m，c=$\sqrt{3}$m，即可求椭圆C的离心率；
（2）由（1）可得椭圆的方程为x²+4y²=4m²，直线ME的方程为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+m，代入椭圆方程，求出E的坐标，进而求出△MF₁E的面积，△MNE的面积，利用四边形MF₁EN的面积为$\frac{10\sqrt{3}}{7}$，求出m，即可求椭圆的方程．

解答 解：（1）由题意，b=m，$\frac{3{m}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{\frac{1}{4}{m}^{2}}{{m}^{2}}$=1，∴a=2m，
∴c=$\sqrt{3}$m，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）由（1）可得椭圆的方程为x²+4y²=4m²，
直线ME的方程为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+m，代入椭圆方程可得7x²-8$\sqrt{3}$mx=0，
∴E（$\frac{8}{7}$$\sqrt{3}$m，-$\frac{m}{7}$），
∴△MF₁E的面积为$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}m×\frac{8}{7}m$=$\frac{8\sqrt{3}}{7}{m}^{2}$，
直线NE的方程为y-$\frac{m}{2}$=$\frac{\frac{m}{2}+\frac{m}{7}}{\sqrt{3}m-\frac{8\sqrt{3}}{7}m}$（x-$\sqrt{3}$m），令y=0，可得x=$\frac{10\sqrt{3}}{9}$m，
∴△MNE的面积为$\frac{1}{2}×\frac{m}{2}×\sqrt{3}m$+$\frac{1}{2}×（\frac{10\sqrt{3}}{9}m-\sqrt{3}m）×（\frac{m}{2}+\frac{m}{7}）$=$\frac{2\sqrt{3}}{7}{m}^{2}$，
∵四边形MF₁EN的面积为$\frac{10\sqrt{3}}{7}$，
∴$\frac{8\sqrt{3}}{7}{m}^{2}$+$\frac{2\sqrt{3}}{7}{m}^{2}$=$\frac{10\sqrt{3}}{7}$，
∴m=1，
∴椭圆的方程为x²+4y²=4．

点评 本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，正确求面积是关键．