Question

1．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（π+x）=f（-x），对k∈Z，用I_k表示区间[kπ-$\frac{π}{2}$，kπ+$\frac{π}{2}$]．已知当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，f（x）=sinx．
（1）求证：f（x）是周期函数；
（2）求f（x）在x∈I_k上的解析表达式；
（3）已知函数f（ωx）（ω＞0）在区间（0，$\frac{π}{3}$）是增函数，求实数ω的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性和周期性的定义进行转化，即可证明f（x）是周期函数；
（2）结合函数奇偶性和周期性的关系先求出一个周期内的解析式，即可求f（x）在x∈I_k上的解析表达式；
（3）根据已知函数f（ωx）（ω＞0）在区间（0，$\frac{π}{3}$）是增函数，求出ωx的取值范围．结合sinx的单调性进行求解即可求实数ω的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（π+x）=f（-x），
∴f（π+x）=f（-x）=f（x），
即函数f（x）是周期为π的周期函数．
（2）若x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，则-x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∵当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，f（x）=sinx，
∴f（-x）=sin（-x）=-sinx，
∵f（x）是偶函数，∴f（-x）=-sinx=f（x），
即f（x）=-sinx，x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，
即函数在一个周期[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]内的解析式为f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinx，}&{x∈[0，\frac{π}{2}]}\\{-sinx，}&{x∈[-\frac{π}{2}，0]}\end{array}\right.$．
∵函数f（x）是周期为kπ的周期函数，
∴当x∈I_k上对应的解析式为f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinx，}&{x∈[kπ，kπ+\frac{π}{2}]}\\{-sinx，}&{x∈[kπ-\frac{π}{2}，kπ]}\end{array}\right.$，k∈Z．
（3）若函数f（ωx）（ω＞0）在区间（0，$\frac{π}{3}$）是增函数，
则当0＜x＜$\frac{π}{3}$时0＜ωx＜$\frac{π}{3}$ω时，
由$\frac{π}{3}$ω$＜\frac{π}{2}$得0＜ω＜$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用函数周期性的定义以及函数奇偶性和周期性的性质是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．