Question

16．（1）求证：动直线（m²+2m+3）x+（1+m-m²）y+3m²+1=0（其中m∈R）恒过定点，并求出定点坐标．
（2）求经过两条直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交点，并且垂直于直线3x+4y-7=0的直线方程．

Answer 1

分析 （1）动直线（m²+2m+3）x+（1+m-m²）y+3m²+1=0，化为：（x-y+3）m²+（2x+y）m+3x+y+1=0①，由于对于任意m为R，上式要成立，那么m²和m的系数必须为零，即可得出结论；
（2）求出直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交点，由已知垂直关系可求得所求直线的斜率为$\frac{4}{3}$，进而得所求直线方程．

解答 （1）证明：动直线（m²+2m+3）x+（1+m-m²）y+3m²+1=0，化为：（x-y+3）m²+（2x+y）m+3x+y+1=0①
由于对于任意m为R，上式要成立，那么m²和m的系数必须为零，那么有x-y+3=0且2x+y=0
解方程得：x=-1，y=2
把x=-1，y=2代入①中的常数项得常数项也为0，
所以这时有对于任意m为R，①成立，也就是原式成立，也就是过定点此时x=-1，y=2，即为定点坐标；
（2）解：解得直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交点为（-$\frac{5}{3}$.$\frac{7}{9}$），由已知垂直关系可求得所求直线的斜率为$\frac{4}{3}$，进而得所求直线方程为4x-3y+9=0．

点评 本题考查直线过定点，考查直线方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．