Question

11．己知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦点为F₁，F₂，点A在其右半支上，若$\overrightarrow{A{F}_{1}}$•$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=0，若∠AF₁F₂∈（0，$\frac{π}{12}$），则该双曲线的离心率e的取值范围为（　　）

• A． （1，$\sqrt{2}$）
• B． （1，$\sqrt{3}$）
• C． （$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）
• D． （$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$）

Answer 1

分析 设∠AF₁F₂=θ，由题意，|AF₂|=2csinθ，|AF₁|=2ccosθ，点A在其右半支上，可得2ccosθ-2csinθ=2a，求出离心率，再利用三角函数知识，即可求解．

解答 解：设∠AF₁F₂=θ，则
由题意，|AF₂|=2csinθ，|AF₁|=2ccosθ，
∵点A在其右半支上，
∴2ccosθ-2csinθ=2a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{cosθ-sinθ}$=$\frac{1}{\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）}$，
∵∠AF₁F₂∈（0，$\frac{π}{12}$），
∴θ+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$），
∴cos（θ+$\frac{π}{4}$）∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$）∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1），
∴e∈（1，$\sqrt{2}$），
故选：A．

点评 本题考查双曲线的定义与性质，考查三角函数知识，考查学生的计算能力，属于中档题．