Question

2．在ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c．
（1）若sin（A+$\frac{π}{6}$）=2cosA，求A的值；
（2）cosA=$\frac{1}{3}$，b=3c，求证：△ABC是直角三角形．

Answer 1

分析 （1）利用两角和差的正弦公式进行转化求解即可．
（2）利用余弦定理结合直角三角形的定义进行判断即可．

解答 解：（1）∵sin（A+$\frac{π}{6}$）=2cosA，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA+$\frac{1}{2}$cosA=2cosA，
即$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA=$\frac{3}{2}$cosA，
即tanA=$\sqrt{3}$，
则△ABC中，A=$\frac{π}{3}$．
（2）由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA，
即a²=9c²+c²-2×3c²×$\frac{1}{3}$=8c²，
∴b²=9c²=8c²+c²=a²+c²，
即∠B是直角，
即△ABC是直角三角形．

点评 本题主要考查解三角形的应用，利用两角和差的正弦公式以及余弦定理是解决本题的关键．