Question

12．已知函数f（x）=3tanωx+1，若对任意x₁，x₂∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}$）且x₁≠x₂，均有[f（x₁）-f（x₂）]（x₁-x₂）＜0成立．则实数ω的取值范围是（　　）

• A． -$\frac{3}{2}$≤ω≤$\frac{3}{2}$
• B． -$\frac{3}{2}$≤ω≤0
• C． -2≤ω＜0
• D． -2≤ω≤2

Answer 1

分析 根据题意，得出函数f（x）在（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}$）上是单调减函数，即ω＜0且周期T≥$\frac{2π}{3}$，求出ω的值即可．

解答 解：∵函数f（x）=3tanωx+1，且对任意x₁，x₂∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}$），
当x₁≠x₂时，均有[f（x₁）-f（x₂）]（x₁-x₂）＜0成立，
∴f（x）在（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}$）上是单调减函数；
∴函数f（x）在（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$）上是单调减函数，且ω＜0；
∴周期T=$\frac{π}{-ω}$≥$\frac{2π}{3}$，∴ω≥-$\frac{3}{2}$；
综上，实数ω的取值范围是-$\frac{3}{2}$≤ω＜0．
故选：B．

点评 本题考查了正切函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．