Question

17．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，E为棱CC₁的中点．
（1）求证：DB⊥直线EA₁；
（2）D₁E与BC₁所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明DB⊥直线EA₁．
（2）求出$\overrightarrow{{D}_{1}E}$=（0，2，-1），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-2，0，2），利用向量法能求出D₁E与BC₁所成角的余弦值．

解答 证明：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），B（2，2，0），E（0，2，1），A₁（2，0，2），
∴$\overrightarrow{DB}$=（2，2，0），$\overrightarrow{E{A}_{1}}$=（2，-2，1），
$\overrightarrow{DB}•\overrightarrow{E{A}_{1}}$=4-4+0=0，
∴DB⊥直线EA₁．
解：（2）D₁（0，0，2），B（2，2，0），E（0，2，1），C₁（0，2，2），
$\overrightarrow{{D}_{1}E}$=（0，2，-1），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-2，0，2），
设D₁E与BC₁所成角为θ，
则cosθ=|cos＜$\overrightarrow{{D}_{1}E}，\overrightarrow{B{C}_{1}}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{{D}_{1}E}•\overrightarrow{B{C}_{1}}}{|\overrightarrow{{D}_{1}E}|•|\overrightarrow{B{C}_{1}}|}$|=|$\frac{-2}{\sqrt{5}•\sqrt{8}}$|=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
∴D₁E与BC₁所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．