Question

7．已知△ABC的面积为S，且2S=$\overrightarrow{AB}$²-$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$．
（1）求角A的大小；
（2）若S=1，BC=$\sqrt{5}$，求△ABC的最短边的长．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的面积公式以及向量的数量积的应用进行求解即可．
（2）利用三角形的面积以及余弦定理建立方程关系进行求解，比较大小即可．

解答 解：（1）设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
因为2S=$\overrightarrow{AB}$²-$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$．即2×$\frac{1}{2}$acsinB=c²-accosB，…2分
由正弦定理化得sinAsinBsinC=sin²C-sinAcosBsinC，
三角形中sinC=sin（A+B）＞0，即有sinAsinB=sin（A+B）-sinAcosB，…4分
亦即sinAsinB=cosAsinB，由sinB＞0，得tanA=1，
因为A∈（0，π），即A=$\frac{π}{4}$．…7分
（2）因为a=$\sqrt{5}$，S=1，所以bcsinA=1，即bc=2，…9分
由余弦定理得a²= b²+ c²-2bccosA，得b²+c²=9． …11分
由$\left\{\begin{array}{l}{bc=2\sqrt{2}}\\{{b}^{2}+{c}^{2}=9}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{b=2\sqrt{2}}\\{c=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{c=2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，…13分
所以最短边的长为1．

点评 本题主要考查解三角形的应用以及数量积的应用，根据条件建立方程关系是解决本题的关键．