Question

7．若以原点为圆心，椭圆的焦半径c为半径的圆与该椭圆有四个交点，则该椭圆的离心率的取值范围为：（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．

Answer 1

分析 设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），与圆方程为x²+y²=c²，联立方程组，解得x，y，由题意可得c＞b，再由离心率公式，计算即可得到所求范围．

解答 解：设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
以原点为圆心，椭圆的焦半径c为半径的圆方程为x²+y²=c²，
联立两方程，可得y²=$\frac{{b}^{2}（{a}^{2}-{c}^{2}）}{{a}^{2}-{b}^{2}}$，x²=$\frac{{a}^{2}（{c}^{2}-{b}^{2}）}{{a}^{2}-{b}^{2}}$，
由题意可得x²＞0，y²＞0，
结合a＞b＞0，a＞c＞0，可得c²＞b²，
即有c²＞a²-c²，即为a＜$\sqrt{2}$c，
则离心率e=$\frac{c}{a}$＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$，由0＜e＜1，可得
$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜e＜1．
故答案为：（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．

点评 本题考查椭圆的离心率的范围，注意运用圆与椭圆方程联立，通过方程组有解，考查运算能力，属于中档题．